اماجهان واقعی تقارن کامل تئوری کلاسیک نمونه های هم احتمال را دارا نیست.
احتمالات کلاسیک برای کاربردهای همیشگی که نتایج زیبایی را در یک بازی نشان میدهند،مفید نبود.به همین دلیل یک تغییر ذهنی نیاز بود.
این تغییر از حدود سال ۱۹۰۰ انجام شد و محاسبات کلاسیک احتمالات را به صورت یک ساختار عمیق ریاضی درآورد.
نظریه شروع کرد به استفاده از بی نهایت های ریاضی در یک راه ضروری،بالاخص حالت پیشامدهای نامتناهی.
"لبزگو"این تئوری را تحت تاثیر کارهای "بورل" در اواسط قرن بیستم ساخت و شالوده های آن را به وجود آورد.
مطالعهء نظری محاسباتی در اعداد حقیقی و ویژگی های حدی رشته های اعداد طبیعی به شناسایی آن عدد حقیقی به وسیلهء آن رشته(به عنوان یک توسیع اعشاری)مربوط اند.
پس مسئلهء احتمال مربوط به رفتار حدی تکرر نسبی،برای مثال میتواند در مورد اندازه گیری یک مجموعه از اعداد حقیقی فرمول بندی شود.(مسئلهء "گیلدن")
حدس شهودی در اعداد حقیقی یک نمونهء مهم از اعداد حقیقی بود که توسط "هانری پوانکاره"عنوان شد.
در مطالعات او در مورد مسائل سه بعدی،او یک نتیجه با احتمال یک را ثابت کرد.(قضیهء برگشت پوانکاره)
-ترجمه شده توسط حامد ولیزاده و مریم کریمی
قسمت اول...
قسمت دوم:
در سال ۱۹۰۰ در کنگرهء بین المللی ریاضیدانها در پاریس،"دیوید هیلبرت"(۱۹۴۳-۱۸۶۲)۲۳ مسئله را که به عقیدهء او حل آنها در پیشرفت ریاضیات مؤثر است پیشنهاد کرد.یکی از این مسائل بحث اصل موضوعی احتمال بود.
هیلبرت در سخنرانی خود نقل قولی از"وایر اشتراوس"آورد که گفته بود:"هدف نهایی که همیشه باید به یاد داشت،رسیدن به یک فهم درست مبانی علم است."هیلبرت اضافه کرد که فهم کامل نظریه های خاص یک علم برای بحث موفقیت آمیز مبانی آن ضروری ست.
احتمال به آن نقطه رسید و برای رسیدن به یک مبنای ریاضی محکم به اندازهء کافی بررسی شد.در راستای رسیدن به این هدف کارهایی به وسیلهء "امیل بورل"(۱۹۵۶-۱۸۷۶)،"سرژ برنشتاین"(۱۹۶۸-۱۸۸۰) و "ریچارد فون میزس"(۱۹۵۳-۱۸۸۳)انجام شد تا اینکه در سال ۱۹۳۳ "آندری کولموگروف"(۱۹۸۷-۱۹۰۳)ریاضیدان مشهور روس،به صورتی موفقیت آمیز نظریهء احتمال را اصل موضوعی کرد. 
کار کولموگروف که در حال حاضر مورد قبول همگان است،سه ویژگی بدیهی و بی چون و چرای احتمال را به عنوان اصل موضوع اختیار کرده و همهء نظریهء احتمال را بر مبنای آنها به دقت بیان کرده است.به خصوص اینکه یکتایی مقدار احتمال را برای یک پیشامد در تعداد دفعات معین آزمایش تضمین میکند.
احتمالهای ذهنی مبتنی بر شناختها،ادراکها و باورهای شخصی را نیز میتوان مدل بندی و به وسیلهء این رهیافت اصل موضوعی،مطالعه کرد.
دو کار بزرگ لاپلاس که نه تنها تحقیقات خود او بلکه در موضوعات مربوط همهء کارهای پیشین را وحدت میبخشد،عبارتند از:"نظریهء تحلیلی احتمال"و"مکانیک سماوی".این دو اثر ماندنی به مقدمه های توصیفی مفصل به زبان غیرفنی:جستار فلسفی در احتمالات و شرح نظام عالم آغاز شدند.
جستار فلسفی در احتمالات مقدمه ای خواندنی برای نظریهء احتمالات است؛این مقاله تعریف"منفی"لاپلاس از احتمالات را که بر "پیشامدهای متساوی الاحتمال" مبتنی ست شامل میشود.
"نظریهء تصادف"عبارت است از تحویل همهء رویدادهایی که از یک نوع اند به تعداد معینی از موارد متساوی الاحتمال،یعنی مواردی که از نظر پیشامدی که در پی احتمالش هستیم مطلوبند.
به نظر لاپلاس مسائل مربوط به احتمال از آن رو مطرح میشود که چیزهایی را میدانیم و چیزهایی را نمیدانیم.
لاپلاس همچنین نظریه ای را که "تامس بیز"،کشیش گمنام انگلیسی طرح کرد و پس از مرگش در فاصلهء سالهای۱۷۶۳-۱۷۶۴ منتشر شده بود از فراموشی نجات داد و مجدداً تدوین کرد.این نظریه به نظریهء احتمالات وارون معروف شده است.
بعد ار کارهای پاسکال،فرما و هویگنس در سال ۱۷۱۳ کتابی که یاکوب برنولی(۱۷۰۵-۱۶۵۴)و همچنین در سال ۱۷۳۰ کتابی که 
نوشت،پشرفت ناگهانی عمده ای بود.یاکوب برنولی،یکی از نخستین دانش پژوهان نظریهء احتمالات بود و در این موضوع کتاب "فن گمان" را نوشت که پس از مرگش در سال ۱۷۱۳ منتشر شد.در بخش اول این کتاب مقالهء هویگنس دربارهء بازیهای تصادفی مجدداً به چاپ رسیده است.قسمت های دیگر به تبدیلات و ترکیبات مربوط میشود و کتاب با قضیهء برنولی دربارهء توزیع های دوجمله ای به اوج خود میرسد.
گفتیم که یکی از افراد مهمی که سهمی در نظریهء احتمالات داشت آبراهام دوموآور بود.دوموآور یک "هوگنو"ی فرانسوی بود.هوگنو نامی ست که به پروتستان های فرانسوی قرون ۱۷و۱۸ داده شده بود.پس از نسخ فرمان نانت(فرمانی که در سال ۱۵۹۸ توسط هانری چهارم صادر شد و به موجب آن به هوگنویها مساوی دیگران داده شد)در سال ۱۶۸۵ به فضای سیاسی مساعدتر لندن مهاجرت کرد.
وی در زندگی خود را در انگلیس از طریق تدریس خصوصی گذاراند و از دوستان نزدیک آیزاک نیوتن شد.
دوموآور بخصوص به خاطر اثرش "قسط السنین عمر" که نقش مهمی در تاریخ ریاضیات آمارگری دارد،اثر "کمترین شانس" که حاوی مطالب جدیدتری دربارهء نظریهء احتمالات است و اثر "جنگ تحلیلی" که دربارهء سریهای متناوب،احتمال و مثلثات تحلیلی است،شهرت دارد.
بررسی انتگرال احتمالاتی زیر:
برای اولین بار و بررسی منحنی فراوانی نرمال:
Cوhثابت:
که در مبحث آمار اهمیت زیادی دارد به دوموآور منسوب است.فرمول "استرلینگ"،که به غلط چنین نامگذاری شده به دوموآور منسوب است.
افسانه ای که اغلب دربارهء مرگ وی گفته میشود بسیار جالب است.مطابق این داستان دوموآور حس میکرد هر روز یک ربع ساعت بیشتر از روز قبل به خواب نیاز دارد.وقتی این تصاعد عددی به ۲۴ ساعت رسید دوموآور درگذشت.
ولی سیر کاربردی...