پافنوتی وویچ چبیشف

  آندری مارکوف

اوایل تئوری احتمالات... 

اماجهان واقعی تقارن کامل تئوری کلاسیک نمونه های هم احتمال را دارا نیست.

احتمالات کلاسیک برای کاربردهای همیشگی که نتایج زیبایی را در یک بازی نشان میدهند،مفید نبود.به همین دلیل یک تغییر ذهنی نیاز بود.

این تغییر از حدود سال ۱۹۰۰ انجام شد و محاسبات کلاسیک احتمالات را به صورت یک ساختار عمیق ریاضی درآورد.

نظریه شروع کرد به استفاده از بی نهایت های ریاضی در یک راه ضروری،بالاخص حالت پیشامدهای نامتناهی.

"لبزگو"این تئوری را تحت تاثیر کارهای "بورل" در اواسط قرن بیستم ساخت و شالوده های آن را به وجود آورد.

مطالعهء نظری محاسباتی در اعداد حقیقی و ویژگی های حدی رشته های اعداد طبیعی به شناسایی آن عدد حقیقی به وسیلهء آن رشته(به عنوان یک توسیع اعشاری)مربوط اند.

پس مسئلهء احتمال مربوط به رفتار حدی تکرر نسبی،برای مثال میتواند در مورد اندازه گیری یک مجموعه از اعداد حقیقی فرمول بندی شود.(مسئلهء "گیلدن")

حدس شهودی در اعداد حقیقی یک نمونهء مهم از اعداد حقیقی بود که توسط "هانری پوانکاره"عنوان شد.

در مطالعات او در مورد مسائل سه بعدی،او یک نتیجه با احتمال یک را ثابت کرد.(قضیهء برگشت پوانکاره)    

-ترجمه شده توسط حامد ولیزاده و مریم کریمی

قسمت اول...

قسمت دوم:

در سال ۱۹۰۰ در کنگرهء بین المللی ریاضیدانها در پاریس،"دیوید هیلبرت"(۱۹۴۳-۱۸۶۲)۲۳ مسئله را که به عقیدهء او حل آنها در پیشرفت ریاضیات مؤثر است پیشنهاد کرد.یکی از این مسائل بحث اصل موضوعی احتمال بود.

هیلبرت در سخنرانی خود نقل قولی از"وایر اشتراوس"آورد که گفته بود:"هدف نهایی که همیشه باید به یاد داشت،رسیدن به یک فهم درست مبانی علم است."هیلبرت اضافه کرد که فهم کامل نظریه های خاص یک علم برای بحث موفقیت آمیز مبانی آن ضروری ست.

احتمال به آن نقطه رسید و برای رسیدن به یک مبنای ریاضی محکم به اندازهء کافی بررسی شد.در راستای رسیدن به این هدف کارهایی به وسیلهء "امیل بورل"(۱۹۵۶-۱۸۷۶)،"سرژ برنشتاین"(۱۹۶۸-۱۸۸۰) و "ریچارد فون میزس"(۱۹۵۳-۱۸۸۳)انجام شد تا اینکه در سال ۱۹۳۳ "آندری کولموگروف"(۱۹۸۷-۱۹۰۳)ریاضیدان مشهور روس،به صورتی موفقیت آمیز نظریهء احتمال را اصل موضوعی کرد.                                                                                                     

کار کولموگروف که در حال حاضر مورد قبول همگان است،سه ویژگی بدیهی و بی چون و چرای احتمال را به عنوان اصل موضوع اختیار کرده و همهء نظریهء احتمال را بر مبنای آنها به دقت بیان کرده است.به خصوص اینکه یکتایی مقدار احتمال را برای یک پیشامد در تعداد دفعات معین آزمایش تضمین میکند.

احتمالهای ذهنی مبتنی بر شناختها،ادراکها و باورهای شخصی را نیز میتوان مدل بندی و به وسیلهء این رهیافت اصل موضوعی،مطالعه کرد.

دو کار بزرگ لاپلاس که نه تنها تحقیقات خود او بلکه در موضوعات مربوط همهء کارهای پیشین را وحدت میبخشد،عبارتند از:"نظریهء تحلیلی احتمال"و"مکانیک سماوی".این دو اثر ماندنی به مقدمه های توصیفی مفصل به زبان غیرفنی:جستار فلسفی در احتمالات و شرح نظام عالم آغاز شدند.
جستار فلسفی در احتمالات مقدمه ای خواندنی برای نظریهء احتمالات است؛این مقاله تعریف"منفی"لاپلاس از احتمالات را که بر "پیشامدهای متساوی الاحتمال" مبتنی ست شامل میشود.
"نظریهء تصادف"عبارت است از تحویل همهء رویدادهایی که از یک نوع اند به تعداد معینی از موارد متساوی الاحتمال،یعنی مواردی که از نظر پیشامدی که در پی احتمالش هستیم مطلوبند.
به نظر لاپلاس مسائل مربوط به احتمال از آن رو مطرح میشود که چیزهایی را میدانیم و چیزهایی را نمیدانیم.
لاپلاس همچنین نظریه ای را که "تامس بیز"،کشیش گمنام انگلیسی طرح کرد و پس از مرگش در فاصلهء سالهای۱۷۶۳-۱۷۶۴ منتشر شده بود از فراموشی نجات داد و مجدداً تدوین کرد.این نظریه به نظریهء احتمالات وارون معروف شده است.

بعد ار کارهای پاسکال،فرما و هویگنس در سال ۱۷۱۳ کتابی که یاکوب برنولی(۱۷۰۵-۱۶۵۴)و همچنین در سال ۱۷۳۰ کتابی که نوشت،پشرفت ناگهانی عمده ای بود.یاکوب برنولی،یکی از نخستین دانش پژوهان نظریهء احتمالات بود و در این موضوع کتاب "فن گمان" را نوشت که پس از مرگش در سال ۱۷۱۳ منتشر شد.در بخش اول این کتاب مقالهء هویگنس دربارهء بازیهای تصادفی مجدداً به چاپ رسیده است.قسمت های دیگر به تبدیلات و ترکیبات مربوط میشود و کتاب با قضیهء برنولی دربارهء توزیع های دوجمله ای به اوج خود میرسد.

گفتیم که یکی از افراد مهمی که سهمی در نظریهء احتمالات داشت آبراهام دوموآور بود.دوموآور یک "هوگنو"ی فرانسوی بود.هوگنو نامی ست که به پروتستان های فرانسوی قرون ۱۷و۱۸ داده شده بود.پس از نسخ فرمان نانت(فرمانی که در سال ۱۵۹۸ توسط هانری چهارم صادر شد و به موجب آن به هوگنویها مساوی دیگران داده شد)در سال ۱۶۸۵ به فضای سیاسی مساعدتر لندن مهاجرت کرد.

وی در زندگی خود را در انگلیس از طریق تدریس خصوصی گذاراند و از دوستان نزدیک آیزاک نیوتن شد.

دوموآور بخصوص به خاطر اثرش "قسط السنین عمر" که نقش مهمی در تاریخ ریاضیات آمارگری دارد،اثر "کمترین شانس" که حاوی مطالب جدیدتری دربارهء نظریهء احتمالات است و اثر "جنگ تحلیلی" که دربارهء سریهای متناوب،احتمال و مثلثات تحلیلی است،شهرت دارد.

بررسی انتگرال احتمالاتی زیر:

                                        

برای اولین بار و بررسی منحنی فراوانی نرمال:

                                                            

Cوhثابت:

که در مبحث آمار اهمیت زیادی دارد به دوموآور منسوب است.فرمول "استرلینگ"،که به غلط چنین نامگذاری شده به دوموآور منسوب است.

افسانه ای که اغلب دربارهء مرگ وی گفته میشود بسیار جالب است.مطابق این داستان دوموآور حس میکرد هر روز یک ربع ساعت بیشتر از روز قبل به خواب نیاز دارد.وقتی این تصاعد عددی به ۲۴ ساعت رسید دوموآور درگذشت. 

 

ولی سیر کاربردی...                                                        

خبر ظاهرا‌ً موثقي در دست است كه فرما در بومون دولماني نزديك تولوز در۱۷ اوت ۱۶۰۱ بدنيا آمد.ميدانيم كه اودر كاستر يا در تولوز در ۱۲ ژانويهء۱۶۶۵ درگذشت.سنگ قبر او كه بدواً در كليساي آگوستين در تولوز بود و بعداً به موزهءملي منتقل شد،تاريخ مرگ فوق و سن فرما را در بدو مرگ ۵۷ سال ميدهد.به دليل اينكه اطلاعات متناقض تاريخ تاريخ تولد و مرگ فرما معمولاً به صورت ۱۶۶۵-۱۶۰۱ ثبت ميشود.در واقع به دلايل متعدد تاريخ ولادت فرما به صورتي كه نويسندگان مختلف داده اند از ۱۵۹۰ تا ۱۶۰۸ تغيير ميكند.
فرما پسر يك تاجر چرم بود و تحصيلات مقدماتي را در زادگاه خود انجام داد.در ۳۰ سالگي به عضويت پارلمان محلي در تولوز در آمد و وظايف خود را در آنجا با دقت زياد انجام داد.
وي كه حقوقداني متواضع و گوشه گير بود قسمت اعظم ساعات فراغت خود را وقف مطالعهء رياضيات كرد.
گرچه در دوران حيات خود مطالب كمي را منتشر كرد ولي با رياضيدانان برجستهء زيادي كه با او همزمان بودند مكاتبهء علمي داشت و از راه همين مكاتبات تا حد زيادي معاصران خود را تحت تاثير قرار داد.
شاخه هاي رياضي كه وي موجب غناي آنها به قدري متعددند و سهم وي در آنها به قدري اهميت دارد كه بزرگ ترين رياضيدان قرن هفدهم فرانسه ناميده شده است.
قبلاً خاطر نشان كرديم كه مكاتبات بين پاسكال و فرما اساس علم احتمال را پيريزي كرد.متذكر ميشويم كه به اصطلاح ‌"مسئلهء امتيازها" بود كه آغازگر اين مطلب گرديد:"نحوهء تقسيم جايزه در بازي نيمه تمام مانده اي بين دو بازيكن به فرض داشتن مهارت يكسان با معلوم بودن امتياز هاي دو بازيكن در موقع قطع بازي و تعداد امتيازات لازم براي برنده شدن را تعيين كنيد."
فرما به بحث در حالتي پرداخت كهA،يكي از بازيكن ها براي برنده شدن ۲ امتياز و Bبازيكن ديگر ۳ امتياز ميخواست.در اينجا جواب فرما براي حالتي اينچنين مي آوريم.
چون آشكار است كه چهار بازي ديگر نتيجه را معين خواهد كرد اگر aمعرف بازي اي باشد كه در آن Aبرنده ميشود و bمعرف بازي اي كه در آن Bبرنده ميشود و ۱۶ تبدبل دو حرف aوbرا ۴ به ۴ در نظر بگيريم:
aaaa,aaab,abba,bbab

baaa,bbaa,abab,babb

abaa,baba,aabb,abbb

aaba,baab,bbba,bbbb

حالت هايي كه در آن aدو بار يا بيشتر ظاهر ميشود،مساعد براي Aست.۱۱ تا از اين حالتها وجود  دارند.حالتهايي كه در آن bسه بار يا بيشتر ظاهر ميشود مساعد براي Bست.تعداد آنها ۵ است.بنابر اين بايد به نسبت ۱۱:۵تقسيم شود.در حالت كلي كه براي برنده شدن Aبهmامتياز و Bبه n امتياز نياز دارند،۲^m+n-۱
        جايگشت  ممكن دو حرف aوbرا m+n-۱ بهm+n-۱ مينويسيم:در اين صورت عدد aتعداد حالتهايي را كهa،mبار يا بيشتر و عددbتعداد حالتهايي كه در آن b،nبار يا بيشتر ظاهر ميشود به دست مي آوريم بنابراين بايد جايزه به نسبت a:bتقسيم كرد.پاسكال مسئلهء امتيازها را با استفاده از مثلث معروف خود حل كرد.

سؤال‌های ویژه‌ای که ریاضیدانان بزرگ را به اندیشیدن در این باره واداشت از درخواست‌های نجیب زادگانی نشأت می‌گرفت که با ورق یا تاس قمار می‌کردند ، به قول پواسون:مسأله‌ای مربوط به بازی‌های تصادفی که از سوی "مرد این جهانی به ریاضت کشی یانسنی(؟)" پیشنهاد شد ، سرچشمه حساب احتمالات است.این"مرداین جهانی" شوالیه دومره نجیب زاده‌ای بسیار با فرهنگ بود که با مسأله مربوط به مسأله نقطه‌ها به پاسکال مراجعه کرد.پاسکال باب مکاتبه را با فرما بر این مسأله و مسائل دیگر گشود و هر دو برخی از بنیادهای نظریه احتمال را پی‌ریزی کردند(۱۶۵۴).
در سال ۱۶۵۵دانشمند معروف هلندی کریستین هویگنس به آنها پیوست و این همکاری بسیار پرثمر بود. در سال ۱۶۵۷هویگنس اولین کتاب درباره احتمال را تحت عنوان "درباره محاسبات بازیهای شانسی"نوشت. این کتاب به منزله تولد واقعی احتمال محسوب می‌شود.دانشمندانی که این کتاب را خواندند متوجه شدند که با نظریه‌ای عمیق سروکار دارند.بحث درباره مسائل حل شده و حل نشده و بسیاری از ایده‌های جدید خوانندگان آن زمان این کتاب ، زمینه ساز مباحث نو شد.
در بخش‌های آینده خلاصه‌ای از زندگی این سه ریاضیدان بزرگ را ارائه می‌دهیم.

دانش‌پژوهان ایتالیایی ، لوکا پاچولی(۱۵۱۴-۱۴۴۵) ، نیکولا تارتاگلیا(۱۵۵۷-۱۴۹۹) ، جرولامو کاردانو(۱۵۷۶-۱۵۰۱)  و به خصوص گالیلو گالیله‌ای(۱۶۴۲-۱۵۶۴) از جمله پیشکسوتان دانش ریاضی هستند که احتمالهای مربوط به بسیاری از بازیهای تصادفی را محاسبه کرده‌اند.علاوه بر این آنها کوشش کرده‌اند تا مبنایی ریاضی برای احتمال فراهم آورند.کاردانو حتی درباره قمار بازی کتابی نوشت که شامل بخشهایی درباره روشهای نیرنگ است.
به هر حال پیشرفت واقعی در فرانسه از سال ۱۶۵۴ وقتی بلز پاسکال(۱۶۶۲-۱۶۲۳) و پیردو فرما(۱۶۶۵-۱۶۰۱) دو ریاضیدان نامی نامه‌هایی به یکدیگر ردوبدل کردند آغاز شد ، که در این نامه‌ها از روشهای کلی محاسبه احتمال‌ها بحث کرده‌اند ، اما نمی‌توان گفت که فرما و پاسکال بنیانگذاران نظریه احتمالات بودند.

   

                    

بخش اول و دوم